Grupo de Pauli

Em física, informação quântica e teoria dos grupos, o grupo de Pauli é um grupo formado por produtos tensoriais de matrizes de Pauli, incluindo a identidade. O grupo de Pauli de um único qubit é um grupo de matrizes de 16 elementos, consistindo das 4 matrizes de Pauli cada uma com 4 possíveis fatores de fase. O grupo de Pauli de n qubits é um grupo de

n + 1

{\displaystyle 4^{n+1}}

elementos que consiste em produtos tensoriais de matrizes de Pauli de um único qubit. Na teoria da informação quântica, os grupos de Pauli são importantes porque são a base para o formalismo estabilizador, uma estrutura amplamente utilizada para construir e descrever códigos de correção de erros quânticos usando conjuntos de operadores de Pauli que comutam. Os códigos estabilizadores são formados a partir de subgrupos comutativos do grupo de Pauli.

Grupo de Pauli de um único qubit O grupo de Pauli consiste na matriz identidade

2 × 2

{\displaystyle 2\times 2}

{\displaystyle I}

e em todas as matrizes de Pauli

X =

(

)

Y =

(

− i

)

Z =

(

− 1

)

{\displaystyle X=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad Y=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad Z=\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

, juntamente com os produtos destas matrizes pelos fatores

± 1

{\displaystyle \pm 1}

± i

{\displaystyle \pm i}

d e f

{ ± I , ± i I , ± X , ± i X , ± Y , ± i Y , ± Z , ± i Z } ≡ ⟨ X , Y , Z ⟩

{\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv \langle X,Y,Z\rangle }

. O grupo de Pauli é gerado pelas matrizes de Pauli e, como elas, recebeu o nome de Wolfgang Pauli. Como um grupo abstrato,

≅

∘

{\displaystyle G\ \cong C_{4}\circ D_{4}}

é o produto central de um grupo cíclico de ordem 4 e do grupo diedral de ordem 8. O grupo de Pauli é uma representação do grupo gama no espaço euclidiano tridimensional. Ele não é isomorfo ao grupo gama; é menos livre, pois seu elemento quiral é

= i I

{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=iI}

enquanto não existe tal relação para o grupo gama.

Álgebra de Pauli A álgebra de Pauli é a álgebra das matrizes complexas 2 x 2 M(2, C) com adição de matrizes e multiplicação de matrizes. Ela tem uma longa história começando com os biquaterniões introduzidos por W. R. Hamilton nas suas Lectures on Quaternions (1853). A representação com matrizes foi notada por L. E. Dickson em 1914. Publicações de Pauli levaram eventualmente ao epônimo agora em uso. Os elementos da base da álgebra geram o grupo de Pauli.

Grupo de Pauli de múltiplos qubits O grupo de Pauli em

{\displaystyle n}

qubits,

{\displaystyle G_{n}}

, é o grupo gerado pelos operadores descritos acima aplicados a cada um dos

{\displaystyle n}

qubits no produto tensorial do espaço de Hilbert

(

)

⊗ n

{\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes n}}

. Isto é,

= ⟨

⊗ ⋯ ⊗

∈ { I , X , Y , Z } ⟩ = { c ⋅

⊗ ⋯ ⊗

: c ∈ { ± 1 , ± i } ,

∈ { I , X , Y , Z } } .

{\displaystyle G_{n}=\langle P_{1}\otimes \cdots \otimes P_{n}:P_{i}\in \{I,X,Y,Z\}\rangle =\{c\cdot P_{1}\otimes \cdots \otimes P_{n}:c\in \{\pm 1,\pm i\},P_{i}\in \{I,X,Y,Z\}\}.}

A ordem de

{\displaystyle G_{n}}

4 ⋅

{\displaystyle 4\cdot 4^{n}}

uma vez que um fator escalar

± 1

{\displaystyle \pm 1}

± i

{\displaystyle \pm i}

em qualquer posição do produto tensorial pode ser movido para qualquer outra posição.

Notações Um operador de Pauli de

{\displaystyle n}

qubits que atua apenas em um único qubit é frequentemente denotado como uma única letra de Pauli com um subscrito inteiro. Por exemplo, num sistema com 3 qubits,

≡ X ⊗ I ⊗ I ,

≡ I ⊗ Z ⊗ I .

{\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}

Operadores de Pauli de múltiplos qubits podem ser escritos como produtos de operadores de Pauli de um único qubit em qubits disjuntos. Alternativamente, quando está claro pelo contexto, o símbolo de produto tensorial

⊗

{\displaystyle \otimes }

pode ser omitido, ou seja, matrizes de Pauli sem subscrito escritas consecutivamente representam produto tensorial em vez de produto matricial. Por exemplo:

X Z I ≡

= X ⊗ Z ⊗ I .

{\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}

Propriedades Os operadores em

{\displaystyle G_{n}}

também podem ser representados como matrizes

{\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}

. Um operador

P = c ⋅

⊗ ⋯ ⊗

{\displaystyle P=c\cdot P_{1}\otimes \cdots \otimes P_{n}}

tem sempre dois autovalores distintos,

± 1

{\displaystyle \pm 1}

± i

{\displaystyle \pm i}

dependendo se o fator escalar

{\displaystyle c}

± 1

{\displaystyle \pm 1}

± i

{\displaystyle \pm i}

. Um operador com autovalores

± 1

{\displaystyle \pm 1}

é hermitiano, e um com autovalores

± i

{\displaystyle \pm i}

é anti-hermitiano. Em qualquer caso, um conjunto de

{\displaystyle 2^{n}}

autovetores de

{\displaystyle P}

pode ser construído tomando produtos tensoriais de autovetores de cada

{\displaystyle P_{i}}

, sendo o autovalor

{\displaystyle c}

vezes o produto dos autovalores de cada fator. Dois operadores em

{\displaystyle G_{n}}

ou comutam ou anticomutam, dependendo se o número de pares anticomutantes de operadores de Pauli de um único qubit na mesma posição é par ou ímpar. Por exemplo,

X X X

{\displaystyle XXX}

Z Z X

{\displaystyle ZZX}

comutam entre si porque há exatamente dois pares anticomutantes (nos qubits 1 e 2), mas

X X X

{\displaystyle XXX}

Z Z Z

{\displaystyle ZZZ}

anticomutam porque há três desses pares.

Representação por vetor binário Existe um mapeamento simples mas útil

{\displaystyle N}

entre o espaço vetorial binário

(

)

{\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{2}}

e o conjunto de matrizes de Pauli

{ I , X , Y , Z }

{\displaystyle \{I,X,Y,Z\}}

00 → I ,

01 → X ,

11 → Y ,

10 → Z .

{\displaystyle 00\to I,\;01\to X,\;11\to Y,\;10\to Z.}

Este mapeamento permite que um operador de Pauli de múltiplos qubits seja representado como vetores binários com um fator de fase, e que as operações sobre estes operadores sejam definidas como operações binárias em vez de operações matriciais. Algumas propriedades úteis deste mapeamento tornam-se evidentes quando os operadores de Pauli sem fase

I , X , Y , Z

{\displaystyle I,X,Y,Z}

são considerados como representantes de classes de equivalência no grupo quociente

[ G ] = G

{ ± 1 , ± i }

{\displaystyle [G]=G/\{\pm 1,\pm i\}}

(onde

{\displaystyle G}

é o grupo de Pauli de um único qubit). Para

P ∈ G

{\displaystyle P\in G}

, denote a classe de equivalência representada por

{\displaystyle P}

como

[ P ] = { β P ∣ β ∈ { ± 1 , ± i } } .

{\displaystyle [P]=\{\beta P\mid \beta \in \{\pm 1,\pm i\}\}.}

Note que

[ G ]

{\displaystyle [G]}

é um grupo comutativo pois dois operadores de Pauli ou comutam ou anticomutam, mas

[ − P ] = [ P ]

{\displaystyle [-P]=[P]}

. O mapeamento

{\displaystyle N}

induz agora um isomorfismo

[ N ] : (

)

↦ [ G ]

{\displaystyle [N]:(\mathbb {Z} _{2})^{2}\mapsto [G]}

, ou seja, a adição de vetores em

(

)

{\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{2}}

é equivalente à multiplicação de operadores de Pauli a menos de uma fase global:

[ N ( u + v ) ] = [ N ( u ) ] [ N ( v ) ] .

{\displaystyle [N(u+v)]=[N(u)][N(v)].}

Além disso, seja

⊙

{\displaystyle \odot }

o produto simplético entre dois elementos

u , v ∈ (

)

{\displaystyle u,v\in (\mathbb {Z} _{2})^{2}}

, onde

u = z | x

{\displaystyle u=z\vert x}

v =

z ′

x ′

{\displaystyle v=z'\vert x'}

(esta notação representa concatenação de cadeias binárias, por exemplo,

01 ≡ 0 | 1

{\displaystyle 01\equiv 0\vert 1}

z , x ,

z ′

x ′

∈

{\displaystyle z,x,z',x'\in \mathbb {Z} _{2}}

u ⊙ v ≡ z

x ′

− x

z ′

{\displaystyle u\odot v\equiv zx'-xz'.}

Então o produto simplético

⊙

{\displaystyle \odot }

fornece as relações de comutatividade dos elementos de

{\displaystyle G}

N ( u ) N ( v ) = ( − 1

)

( u ⊙ v )

N ( v ) N ( u ) .

{\displaystyle N(u)N(v)=(-1)^{(u\odot v)}N(v)N(u).}

O produto simplético e o mapeamento

{\displaystyle N}

fornecem, portanto, uma maneira útil de expressar as relações de Pauli em termos de álgebra binária. As definições acima podem ser estendidas diretamente para múltiplos qubits, definindo um mapeamento

: (

)

2 n

↦

{\displaystyle \mathbf {N} :(\mathbb {Z} _{2})^{2n}\mapsto G_{n}}

tal que

(

) = N (

) ⊗ ⋯ ⊗ N (

) .

{\displaystyle \mathbf {N} (\mathbf {z} \vert \mathbf {x} )=N(z_{1}\vert x_{1})\otimes \cdots \otimes N(z_{n}\vert x_{n}).}

Similarmente ao caso de um único qubit, denotando o grupo quociente

{ ± 1 , ± i }

{\displaystyle G_{n}/\{\pm 1,\pm i\}}

como

[

]

{\displaystyle [G_{n}]}

, o mapeamento

[

] : (

)

2 n

↦ [

]

{\displaystyle [\mathbf {N} ]:(\mathbb {Z} _{2})^{2n}\mapsto [G_{n}]}

é um isomorfismo:

[

(

) ] = [

(

) ] [

(

) ] .

{\displaystyle [\mathbf {N} (\mathbf {u} +\mathbf {v} )]=[\mathbf {N} (\mathbf {u} )][\mathbf {N} (\mathbf {v} )].}

Além disso, para

{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {z} \vert \mathbf {x} }

′

{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {z} '\vert \mathbf {x} '}

, onde

′

∈ (

)

{\displaystyle \mathbf {z} ,\mathbf {x} ,\mathbf {z} ',\mathbf {x} '\in (\mathbb {Z} _{2})^{n}}

, define-se o produto simplético

⊙

{\displaystyle \odot }

como

⊙

≡

∑

i = 1

′

−

′

∑

i = 1

⊙

{\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v} \equiv \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}'-x_{i}z_{i}'=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},}

onde

{\displaystyle u_{i}=z_{i}\vert x_{i}}

′

{\displaystyle v_{i}=z_{i}'\vert x_{i}'}

. Então o produto simplético captura as relações de comutação de quaisquer operadores

(

)

{\displaystyle \mathbf {N} (\mathbf {u} )}

(

)

{\displaystyle \mathbf {N} (\mathbf {v} )}

(

)

(

) = ( − 1

)

(

⊙

)

(

)

(

) .

{\displaystyle \mathbf {N} (\mathbf {u} )\mathbf {N} (\mathbf {v} )=(-1)^{(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} )}\mathbf {N} (\mathbf {v} )\mathbf {N} (\mathbf {u} ).}

A representação binária acima e a álgebra simplética são especialmente úteis para tornar mais explícita a relação entre a correção de erros linear clássica e os códigos estabilizadores quânticos. Na linguagem dos espaços vetoriais simpléticos, um subespaço simplético corresponde a uma soma direta de álgebras de Pauli (ou seja, qubits codificados), enquanto um subespaço isotrópico corresponde a um conjunto de estabilizadores.

Referências

Bibliografia Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge; Nova Iorque: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333

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