O problema de Thomson é um problema clássico de física e matemática que consiste em determinar a configuração de menor energia potencial elétrica de
N
{\displaystyle N}
elétrons (ou qualquer conjunto de cargas pontuais idênticas) restritos à superfície de uma esfera de raio unitário, que se repelem mutuamente de acordo com a Lei de Coulomb. O problema foi proposto pelo físico britânico J. J. Thomson em 1904, logo após ele ter descoberto o elétron. Seu objetivo era embasar o seu modelo atômico de Thomson (frequentemente chamado de "modelo do pudim de passas"). Embora esse modelo atômico tenha sido posteriormente refutado e substituído pelo modelo atômico de Rutherford, o problema matemático da distribuição otimizada de pontos em uma esfera permaneceu relevante, tornando-se um importante problema de otimização com diversas aplicações científicas.
Formulação matemática O problema busca minimizar a energia potencial elétrica total
U
{\displaystyle U}
de um sistema de
N
{\displaystyle N}
partículas idênticas. Pela lei de Coulomb, a energia de interação entre duas partículas repulsivas é inversamente proporcional à distância entre elas. Matematicamente, se as posições dos elétrons na superfície da esfera são dadas pelos vetores
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
(onde o módulo
|
r
i
|
= 1
{\displaystyle |\mathbf {r} _{i}|=1}
para garantir que estão na superfície), a energia potencial total do sistema é a soma das energias de todos os pares de elétrons:
U =
k
e
e
2
∑
i = 1
N − 1
∑
j = i + 1
N
1
|
r
i
−
r
j
|
{\displaystyle U=k_{e}e^{2}\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}{\frac {1}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}
Onde:
k
e
{\displaystyle k_{e}}
é a Constante de Coulomb;
e
{\displaystyle e}
é a carga do elétron;
|
r
i
−
r
j
|
{\displaystyle |\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}
é a distância euclidiana em linha reta entre as cargas
i
{\displaystyle i}
e
j
{\displaystyle j}
. Para simplificar a formulação puramente matemática, as constantes físicas são frequentemente omitidas ou assumidas como unitárias (
k
e
e
2
= 1
{\displaystyle k_{e}e^{2}=1}
). O objetivo computacional e analítico é encontrar as coordenadas exatas dos vetores que resultem no menor valor global possível para
U
{\displaystyle U}
.
Soluções conhecidas Encontrar a solução exata para o problema de Thomson é notoriamente difícil devido à grande quantidade de mínimos locais na função de energia, cujo número cresce exponencialmente com o aumento de
N
{\displaystyle N}
. Provas analíticas rigorosas só existem para um número muito pequeno de partículas. Para valores pequenos de
N
{\displaystyle N}
, as configurações de energia mínima formam poliedros regulares ou altamente simétricos:
N = 2: Os elétrons posicionam-se em polos opostos (pontos antipodais). N = 3: Formam um triângulo equilátero no equador da esfera. N = 4: Formam um tetraedro regular. N = 5: Formam uma bipirâmide triangular (elétrons nos polos e um triângulo no equador). N = 6: Formam um octaedro regular. N = 12: Formam um icosaedro regular. Uma das curiosidades matemáticas clássicas deste problema ocorre quando N = 8. Ao contrário do que a intuição geométrica poderia sugerir, a configuração de menor energia não é um cubo perfeito, mas sim um antiprisma quadrado, pois os ângulos dessa forma permitem que as cargas fiquem ligeiramente mais distantes umas das outras em comparação aos vértices de um cubo. Para valores elevados de
N
{\displaystyle N}
, não existem soluções exatas conhecidas, e os cientistas dependem de aproximações e de supercomputadores para encontrar as configurações de menor energia por meio de métodos de otimização global.
Aplicações modernas Apesar de ter nascido na física de partículas clássica, o Problema de Thomson encontrou aplicações vitais no estudo da matéria macia, biologia e química:
Virologia: A forma como as proteínas se organizam para formar os capsídeos esféricos de muitos vírus baseia-se num princípio idêntico de minimização de energia na superfície de uma esfera. Química de fulerenos: A disposição espacial de átomos de carbono em moléculas esféricas de fulereno (como o C60) segue regras intimamente ligadas ao problema de Thomson. Cristalografia de coloides: Partículas coloidais carregadas aprisionadas em gotículas de água esféricas organizam-se espontaneamente seguindo as configurações das soluções de Thomson, criando "cristais líquidos" esféricos.
Ver também Modelo atômico de Thomson Teoria da repulsão dos pares de elétrons da camada de valência (VSEPR) Poliedro regular
Referências